Embasamento Teórico - Foguete

Saudações, visitantes!
Mais uma vez nos apresentando, somos o time responsável pela criação do foguete, pertencente à Equipe Angstrum.

Estamos nos empenhando para desenvolver um foguete funcional para o Projeto Integrador deste 3º Período. Para isso, porém, temos que nos basear em alguns dados acerca do funcionamento do equipamento de lançamento.

Mecânica dos Fluidos

Visto que o foguete é lançado à base de água, o estudo do comportamento dos fluidos é essencial. A hidrodinâmica presente no lançamento do sistema pode ser representada pelo escoamento de um líquido a uma determinada velocidade, denominada vazão. 

Ao lado esquerdo, escreve-se que a vazão volumétrica de um líquido (Qv) é a razão entre o volume que é deslocado pelo tempo do mesmo, analogamente à equação da velocidade linear. No Sistema Internacional (SI), sua unidade é representada por m³/s.

Analisando o objeto pelo qual o o fluido percorrerá (no caso, um cilindro na boca da garrafa), e considerando seu volume equivalente ao produto área-altura, pode-se escrever:

Onde h, A e vesc são, respectivamente, altura, área do objeto analisado e velocidade de escoamento do líquido.

Também devem ser relevadas as vazões em massa (Qm) e em peso (Qw) para o objeto, considerando que as duas também estão associadas ao lançamento. Analogamente, podemos escrever que é a relação entre massa e peso para cada uma das vazões.

Onde ρ é a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade, V o volume do objeto analisado, γ o peso específico do fluido.

Escoamento

Para os fluidos, existem dois tipos de escoamento:

• Escoamento laminar, onde as partículas de um fluido se movem "em camadas", comumente a baixas velocidades quando sua viscosidade é alta;
• Escoamento turbulento, no qual as partículas de um fluido se movem sem uma trajetória específica (altamente irregular), geralmente em substâncias de baixa viscosidade.

Considerando que a água é uma substância de relativa baixa viscosidade, o escoamento dela será turbulento e pouco controlado. Isso pode ser comprovado pelo cálculo do Número de Reynolds (Re) como "coeficiente de estabilidade" do escoamento, através da fórmula

Onde ρ representa a densidade do fluido, v a velocidade do escoamento, D o diâmetro da tubulação pela qual o fluido está sendo transportado, e µ como a viscosidade dinâmica do fluido analisado.

Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é utilizada para descrever o comportamento dos fluidos em movimento no interior de um tubo. Ela recebe esse nome em homenagem ao matemático suíço Daniel Bernoulli, que a publicou em  1738.

Figura 1.Representação do escoamento de um fluido em uma tubulação.
Fonte: http://www.mundoeducacao.com/fisica/equacao-bernoulli.htm

Consideramos para essa figura um fluido ideal que apresenta as seguintes características:

• Escoamento linear – velocidade constante em qualquer ponto do fluído;
• Incompressível – com densidade constante;
• Sem viscosidade;
• Escoamento irrotacional.

Nesse caso, os fatores que interferem no escoamento do fluido são a diferença de pressão nas extremidades do tubo, a área de seção transversal e a altura.

Como o líquido está em movimento a uma determinada altura, ele possui energia potencial gravitacional e energia cinética. Dessa forma, a energia de cada porção de fluido é dada pelas equações:

E₁ = mgh₁ + m v₁² e E₂ = mgh₂ + m v₂²
                 2                                    2

Como os volumes e a densidade das duas porções do fluido são iguais, podemos substituir a massam na expressão acima por:

m = ρ.V

As equações acima podem ser reescritas da seguinte forma:

E₁ = ρ.V (gh₁ + 1v₁² ) e E₂ = ρ.V(gh₂ + 1v₂² )
                     2                                         2

A variação de energia pode ser associada ao trabalho realizado pelo fluido durante o deslocamento entre as duas posições, como afirma o Teorema do Trabalho da Energia Cinética. Assim, podemos obter a equação:

E₂ – E₁ = F₁.S_{1 –} F₂.S₂

A força pode ser obtida pela expressão:

F = P.A

Dessa forma, a equação acima pode ser reescrita como:

ρ.V(gh₂ + 1v₂² ) - ρ.V (gh₁ + 1v₁² ) = (P₁ – P₂) . V
2                           2            

Agrupando os fatores que apresentam o subíndice 1 do lado esquerdo da igualdade e os que têm o subíndice 2, podemos rearranjar a expressão acima e obter a equação de Bernoulli:

ρ.V.g.h₁ + ρ.V. v₁² + P₁.V = ρ.V.g.h₂ + ρ.V. v₂² + P₂.V
          2                                          2

Essa equação também pode ser rescrita da seguinte forma:

ρ.V.g.h + ρ.V. v² + P.V = Constante
2        

A equação de Bernoulli é a principal equação dos estudos da Mecânica dos fluidos e explica, por exemplo, como os aviões mantêm-se no ar. A pressão exercida pelo ar que passa pelas asas do avião é menor do que a pressão em sua parte inferior. Essa diferença de pressão cria uma força de baixo para cima, sustentando o avião no ar.

Aerodinâmica

Por ser um objeto lançado ao ar, ele será influenciado pelo fluido gasoso "ar atmosférico", pelo qual ele terá que percorrer para atingir o alvo designado. Porém, existem muito mais coeficientes envolvidos no lançamento do que o próprio. Para isso, nos foram cedidos diversos links com sites da NASA, que podem ser encontrados a partir daqui.

Figura 2. Diagrama de corpo livre das forças atuantes no sistema.
Fonte: http://exploration.grc.nasa.gov/education/rocket/rktaero.html

De acordo com a instituição nacional americana, as principais forças que atuam no sistema do foguete são descritas na Figura 1, à direita, extraída do site da instituição. No foguete, atuam:

• Em azul, o peso (weight), que parte do centro de massa do sistema; 
• Propulsão (thrust), em mesma cor, como reação da vazão da água;
• Força de sustentação do sistema (lift), perpendicular ao deslocamento do ar;
• Arrasto aerodinâmico (drag), como a força de resistência do ar com o sistema.

De acordo com o site da empresa, simplificadamente, os fatores que afetam consideravelmente a aerodinâmica do sistema são:

• Tamanho e forma do objeto;
• Velocidade e inclinação do lançamento;
• Propriedades inerentes ao ar (viscosidade, compressibilidade, velocidade e massa).

"A geometria tem grande influência nas forças aerodinâmicas geradas por um objeto. A força de sustentação e o arrasto dependem linearmente no tamanho do objeto se movendo pelo ar. A forma do mesmo determina o arrasto criado pela variação de pressão ao redor do objeto."

As forças aerodinâmicas (arrasto e sustentação) são diretamente proporcionais à densidade do ar e ao quadrado da velocidade.

Além disso, é essencial que sejam encontrados os centros de pressão e de massa do foguete, para que ele seja retratado como uma partícula onde toda a força é concentrada.

Podemos deduzir, para o centro de massa, a soma de todas as variáveis xi pela distância di divididas pela soma do total de massas, ou integrar do ponto inicial até o final da coordenada desejada no centro de massa, dividido pela massa total (M).

Para a pressão, pode-se, analogamente, fazer uma comparação ao momento: A distância cp da primeira equação multiplicada pela área A total do foguete equivale à soma de todas as pequenas partes vezes a distância deles em relação a um ponto de referência. Para a segunda equação, também pode-se escrever que é a integral de uma função peso P(x) que, quando integrada multiplicada por x e dividida pelo seu valor de integração sem a multiplicação da variável, representa o centro de pressão nesta coordenada.